Ich glaube mich erinnern zu können, dass der "Laufpass" aus dem Militär kommt.
Wenn man früher aus dem Soldatendienst entlassen wurde, bekam man den "Laufpass". Dieser Pass bestätigte, dass du entlassen wurdest und somit kein Deserteur bist.
Weil sonst: Schnipp schnapp, Rübe ab.

Wie alt der Begriff ist weiß ich allerdings nicht, zu meiner Bundeswehrzeit nannte man das schon total uncool und modern "Entlassungspapiere".

Wobei es noch einen "Laufzettel" gab, auf dem du vor deiner Entlassung verschiedene Stationen abstempeln lassen musstest, z.B. ein Besuch beim Kasernen-Doktor, Rückgabe des Materials (Uniform etc.) usw.
Könnte sprachlich mit dem Laufpass zusammenpassen - zuerst der Zettel, dann der Pass.